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소띠 – 빠른 결정만이 능사는 아니지 않은가. 지켜보면서 판단해도 늦지 않다. 조급한 마음은 성사 될일도 그르치게 할 수 있다. 마음의 안정을 잡고 충분히 생각하고 판단하라.

49년생 : 무리하게 밀어붙이면 역효과가 생길 수 있다.
61년생 : 하나를 얻으려 하다 다른 하나를 잃을 수 있다. 아까워 하지 말라.
73년생 : 쉽게 다가가지 말고 어느 정도 거리를 유지하는 것이 좋다.
85년생 : 서로에 대한 진실한 마음을 느끼게 될 것이다.
97년생 : 그다지 유리한 하루는 아니다.

벨 수
@@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@ 개의 원소를 가지는 집합을 공집합이 아닌 서로소인 집합으로 분할하는 방법의 수를 말한다.
스코틀랜드 출신 수학자이며 과학 소설 작가인 벨(Eric Temple Bell)의 이름을 땄다.

목차
1.집합의 분할2.벨 수와 이항계수3.벨 수와 제2 종 스털링 수4.벨 수의 지수생성함수5.같이 읽기

집합의 분할
@@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@원소 집합을 공집합이 아닌 서로소인 집합으로 분할하는 방법의 수를 @@NAMATH_INLINE@@B_n@@NAMATH_INLINE@@으로 나타내고, 이를 벨 수라고 한다.예를 들어, 3원소 집합 @@NAMATH_INLINE@@X = \{ a, b, c \}@@NAMATH_INLINE@@를 공집합이 아닌 서로소인 집합으로 분할하면 다음과 같이 다섯 가지 방법이 존재한다.@@NAMATH_DISPLAY@@\{ \{ a \}, \{ b \}, \{ c \} \} , \ \{ \{ a, b \}, \{ c \} \} , \ \{ \{ a, c \}, \{ b \} \} , \ \{ \{ b, c \}, \{ a \} \}, \{ \{ a, b, c \} \} @@NAMATH_DISPLAY@@따라서 @@NAMATH_INLINE@@B_3 = 5@@NAMATH_INLINE@@이다.이는 문자 세 개의 곱 @@NAMATH_INLINE@@abc@@NAMATH_INLINE@@를 곱으로 표현하는 방법의 수라고도 할 수 있다.예를 들어, 위의 분할은 각각 다음과 같은 곱에 대응한다.@@NAMATH_DISPLAY@@a \cdot b \cdot c, \ ab \cdot c,\ ac \cdot b,\ bc \cdot a,\ abc @@NAMATH_DISPLAY@@

벨 수와 이항계수
@@NAMATH_INLINE@@(n+1)@@NAMATH_INLINE@@ 개의 원소를 가지는 집합 @@NAMATH_INLINE@@X = \{ a_0, a_1, \dotsc, a_n \}@@NAMATH_INLINE@@을 서로소인 집합으로 분할하였다고 하자.@@NAMATH_INLINE@@a_0@@NAMATH_INLINE@@을 포함하는 부분집합의 원소의 개수를 @@NAMATH_INLINE@@(k+1)@@NAMATH_INLINE@@이라고 하면, 나머지 @@NAMATH_INLINE@@(n-k)@@NAMATH_INLINE@@ 개의 원소들로 이루어진 분할의 개수는 @@NAMATH_INLINE@@B_{n-k}@@NAMATH_INLINE@@이다.@@NAMATH_INLINE@@a_0@@NAMATH_INLINE@@을 포함하고 @@NAMATH_INLINE@@(k+1)@@NAMATH_INLINE@@ 개의 원소를 가지도록 부분집합을 고르는 방법의 수는 이항계수 @@NAMATH_INLINE@@\binom n k@@NAMATH_INLINE@@이므로,@@NAMATH_DISPLAY@@B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom n k B_{n-k} @@NAMATH_DISPLAY@@를 얻는다.
이항계수의 대칭성에 의해@@NAMATH_DISPLAY@@B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom n k B_k @@NAMATH_DISPLAY@@로도 나타낼 수 있다.
단, @@NAMATH_INLINE@@B_0 = 1@@NAMATH_INLINE@@로 해석한다.예를 들어, @@NAMATH_INLINE@@B_4 = B_3 + 3 B_2 + 3 B_1 + B_0 = 5 + 6 + 3 + 1 = 15@@NAMATH_INLINE@@이다.

벨 수와 제2 종 스털링 수
@@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@ 개의 원소를 가지는 집합을 @@NAMATH_INLINE@@k@@NAMATH_INLINE@@ 개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수를 제2 종 스털링 수라 하고 @@NAMATH_INLINE@@S(n, k)@@NAMATH_INLINE@@와 같이 나타낸다.예를 들어, @@NAMATH_INLINE@@n=3@@NAMATH_INLINE@@인 경우@@NAMATH_DISPLAY@@\{ \{ a \}, \{ b \}, \{ c \} \} , \ \{ \{ a, b \}, \{ c \} \} , \ \{ \{ a, c \}, \{ b \} \} , \ \{ \{ b, c \}, \{ a \} \}, \{ \{ a, b, c \} \} @@NAMATH_DISPLAY@@에서 @@NAMATH_INLINE@@S(3,1) = 1@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@S(3,2) = 3@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@S(3,3) = 1@@NAMATH_INLINE@@이다.벨 수의 정의로부터@@NAMATH_DISPLAY@@B_n = \sum_{k=1}^n S(n, k) @@NAMATH_DISPLAY@@가 성립함을 알 수 있다.

벨 수의 지수생성함수
제2 종 스털링 수와 전사함수의 개수의 관계식@@NAMATH_DISPLAY@@S(n, k) = \frac 1 {k!} \sum_{r=0}^k (-1)^r \binom k r (k-r)^n @@NAMATH_DISPLAY@@로부터, 각 @@NAMATH_INLINE@@k@@NAMATH_INLINE@@에 대해 @@NAMATH_INLINE@@S(n, k)@@NAMATH_INLINE@@의 지수생성함수는@@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \frac {S(n,k)} {n!} x^n &= \frac 1 {k!} \sum_{r=0}^k (-1)^r \binom k r \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} {((k-r)x)^n} \\ &= \frac 1 {k!} \sum_{r=0}^k \binom k r (-1)^r e^{(k-r)x} \\ &= \frac {(e^x – 1)^k}{k!} \end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@임을 알 수 있다.예를 들어 @@NAMATH_INLINE@@k=2@@NAMATH_INLINE@@인 경우,@@NAMATH_DISPLAY@@\frac 1 2 \left( x + \frac {x^2} 2 + \frac {x^3} 6 + \dotsb \right)^2 @@NAMATH_DISPLAY@@을 계산하면@@NAMATH_DISPLAY@@\frac 1 2 x^2 + \frac 1 2 x^3 + \frac 7 {24} x^4 + \dotsb @@NAMATH_DISPLAY@@이므로, @@NAMATH_INLINE@@S(2,2)=1@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@S(3,2)=3@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@S(4,2)=7@@NAMATH_INLINE@@ 등을 얻는다.따라서 벨 수의 지수생성함수를 @@NAMATH_INLINE@@f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac {B_n} {n!} x^n@@NAMATH_INLINE@@이라고 하면@@NAMATH_DISPLAY@@f(x) = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac {S(n,k)} {n!} x^n = e^{e^x – 1} @@NAMATH_DISPLAY@@를 얻는다.

같이 읽기
이항계수, 분할, 스털링 수, 생성함수, 전사함수